Música do seno, cosseno e tangente (versão Xuxa)

Pirâmide

Pirâmides

      Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

        Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R    
• arestas da base: os lados  do polígono
• arestas laterais: os segmentos 
• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
• Fonte: www.somatematica.com.br

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Quinto Desafio

Como combinado estou colocando o próximo desafio:

O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule: 

(a) Quais são os valores que podem ser substituidos em y:

(b) Calcule o determinante das matrizes B e C:

(c) Calcule o determinante do produto (B x C):

(d) Calcule o determinante de 3B:

(e) Calcule o determinante da matriz inversa de C:

O prêmio será dado para aquele que responder primeiro corretamente a todos os itens deste desafio. Boa Sorte. Resultado: Segunda 25 de agosto. Participem! 

Quarto Desafio

Estou colocando o quarto desafio! Boa Sorte a todos!
Nesta semana para ganhar o prêmio deverá acertar por completo os dois exercícios. E a resposta pode ser colocada aqui ou no Facebook. O cálculo pode servir como desempate se caso isto acontecer.

(1) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

(2) Considere a matriz M:

(a) Calcule o determinante desta matriz:

(b) Calcule determinante de 3M:

(c) Calcule o determinante da matriz inversa de M:

Para os itens (b) e (c) utilizem as propriedades dos determinantes

det(k.A) = kⁿ . det A.                    det(A^-1) = 1 / det(A).

Solução 

Questão 01:
(9(x - 7) + 48 + 4x) - (8(x - 7) + 4x + 54)=0
(9x - 63 + 48 + 4x) - ( 8x - 56 + 4x + 54) = 0
(13x - 15) - (12x - 2)= 0
x - 15 + 2 =0 
x = 15 - 2
x = 13

(9(13 - 7) + 48 + 4.13) - (8(13 - 7) + 4.13 + 54 = 0
(9.6 - 63 + 48 + 52) - (8.6 + 52 + 54) = 0
(54 + 48 + 52) - (48 + 52 + 54) = 0 
154 - 154 = 0


Questão 02 

a) (204+0+0) - ( 0+196+0)
204 - 196= 8

b) 3³detM= 9(8) = 72
c) 1/8

Determinante

Determinantes

   Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

   Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

   Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

   

                        

Determinante de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)

   O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominadoregra de Sarrus.

   Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real

Fonte:http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

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Matriz Inversa

Matriz Inversa

Matriz inversa

Considere uma matriz quadrada A de ordem n. Se existir uma matriz quadrada B, da mesma ordem, tal que:   AB = In    sendo In a matriz identidade, ou seja, uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras.

Então a matriz B será chamada inversa da matriz A, sendo indicada por A^{(-1). Nesse caso dizemos que a matriz é inversível. Se não existir a matriz B, dizemos que a matriz A não tem inversa, ou seja, não é inversível. Se a matriz inversa existir, ela é única.}

^Exemplo:

^{Determinar, se existir, a inversa da matriz A =}  e B= são inversas entre si.

Para que seja verdade o produto de G . K = I₃



Portanto, concluímos que as matrizes A e B são inversas entre si.
Fonte: http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/11/operacoes-com-matrizes.html

Terceiro Desafio

(01) Observe o esquema e resolva o que se pede:
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(a) O valor de x, y, z e t:

(b) Reescreva as matrizes com os valores encontrados

(c) Multiplique as duas matrizes

(02) Encontre a inversa da matriz 

Resposta por Thalia Fraga (Turma 2007)
(01)
(a) x = 5, y = -4, t = 1 e z = 6.
(b)
5 -4        5 3
3 12     1 6

(c)
21 -9
27 78

(02) A matriz inversa é a = 3/5, b = -1/5, c = -1/5, d = 2/5